La derivada

 

Definición.

La derivada de una función f(x) en un punto x=a se define como el límite del cociente incremental cuando h tiende a cero:

Donde:

• f'(a) representa la derivada de f(x) en el punto x=a
• h es un incremento infinitesimal en x
• El límite nos indica cómo se comporta la función cuando el incremento h se hace cada vez más pequeño.

Interpretaciones de la derivada:

• Pendiente de la recta tangente: Como ya mencionamos, la derivada nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.
• Tasa de cambio instantánea: Representa la rapidez con la que cambia el valor de la función en ese punto.
• Velocidad instantánea: En el contexto de la física, si f(x) representa la posición de un objeto en función del tiempo, la derivada f'(x) representa la velocidad instantánea del objeto en el tiempo x.

Incrementos y razón de cambio 

Un incremento representa el cambio en el valor de una variable. Si tenemos una variable x, un incremento en x se denota como Δx y se calcula como la diferencia entre dos valores de x:

De manera similar, si tenemos una función f(x), un incremento en f(x) se denota como Δy y se calcula como la diferencia entre los valores de la función en dos puntos:

Razón de cambio:

La razón de cambio nos indica cómo varía una variable en relación con otra. En el contexto de las funciones, la razón de cambio promedio entre dos puntos de una curva es simplemente la pendiente de la recta secante que pasa por esos dos puntos.

La razón de cambio promedio se calcula como:

¿Qué es la regla de los cuatro pasos?

Es un procedimiento que nos permite encontrar la derivada de una función en cualquier punto de su dominio. Consiste en seguir los siguientes pasos:

1. Incrementar la variable independiente: Sumamos un pequeño incremento "h" a la variable independiente "x". Obtenemos así x+h.
2. Evaluar la función en el nuevo punto: Calculamos el valor de la función en el punto x+h, es decir, f(x+h).
3. Formar el cociente incremental: Restamos el valor de la función en el punto x al valor obtenido en el paso anterior y lo dividimos entre el incremento h. Esto nos da:

    4. Calcular el límite: Calculamos el límite de este cociente cuando h tiende a cero. Este límite, si existe, es la derivada de la función en el punto x.

Ejemplo:

Encontremos la derivada de la función f(x) = x².

1. Incrementar x: f(x+h) = (x+h)² = x² + 2xh + h²
2. Formar el cociente incremental:

       3. Simplificar:

        4. Calcular el límite:

Por lo tanto, la derivada de f(x) = x² es f'(x) = 2x.

Cálculo de Derivadas

La definición de derivada, aunque fundamental, puede resultar engorrosa para calcular derivadas de funciones más complejas. Por suerte, existen reglas de derivación que simplifican significativamente este proceso.

Reglas de Derivación Básicas

• Derivada de una constante: La derivada de una constante es cero.
  • Si f(x) = c, donde c es una constante, entonces f'(x) = 0.
• Derivada de la función identidad: La derivada de x es 1.
  • Si f(x) = x, entonces f'(x) = 1.
• Regla de la potencia:
  • Si f(x) = x^n, donde n es cualquier número real, entonces f'(x) = n*x^(n-1).
• Regla de la suma y la resta: La derivada de una suma o resta de funciones es la suma o resta de las derivadas.
  • Si f(x) = g(x) + h(x), entonces f'(x) = g'(x) + h'(x).
  • Si f(x) = g(x) - h(x), entonces f'(x) = g'(x) - h'(x).
• Regla del producto:
  • Si f(x) = g(x) * h(x), entonces f'(x) = g'(x)*h(x) + g(x)*h'(x).
• Regla del cociente:
• Si f(x) = g(x) / h(x), entonces f'(x) = [g'(x)*h(x) - g(x)*h'(x)] ¹ / h(x)^2.

Derivadas de Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas tienen derivadas específicas:

• d/dx (sin(x)) = cos(x)
• d/dx (cos(x)) = -sin(x)
• d/dx (tan(x)) = sec²(x)
• ... y otras más

Derivadas de Funciones Exponenciales y Logarítmicas

• d/dx (e^x) = e^x
• d/dx (a^x) = a^x * ln(a)
• d/dx (ln(x)) = 1/x

Derivadas de Orden Superior

La derivada segunda de una función f(x) se obtiene derivando f'(x). Se denota como f''(x). De manera similar, se pueden calcular derivadas de tercer orden, cuarto orden, y así sucesivamente.

Aplicaciones de las Derivadas

• Pendiente de una recta tangente: La derivada en un punto nos da la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto.
• Máximos y mínimos: Los puntos críticos de una función (donde la derivada es cero o no existe) pueden ser máximos o mínimos locales.
• Optimización: La derivada se utiliza para encontrar el valor máximo o mínimo de una función en un intervalo dado.
• Física: La velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo, y la aceleración es la derivada de la velocidad.
• Economía: La derivada se utiliza para analizar la tasa de cambio de variables económicas como la demanda, el costo marginal, etc.

Ejemplo:

Encuentra la derivada de la función f(x) = 3x^2 + 2x - 1.

Aplicando las reglas de la suma, la potencia y la constante, obtenemos:

f'(x) = 32x^(2-1) + 2*1 - 0 = 6x + 2

Derivadas de Funciones Implícitas

Hasta ahora, hemos trabajado con funciones expresadas explícitamente, es decir, donde una variable (generalmente y) está expresada en función de otra (generalmente x). Sin embargo, muchas veces nos encontramos con ecuaciones donde las variables están mezcladas y no es fácil (o incluso posible) despejar una en función de la otra. Estas ecuaciones definen funciones de forma implícita.

Ejemplo: La ecuación de una circunferencia con centro en el origen y radio 1, x² + y² = 1, define una relación implícita entre x e y. No podemos despejar y de forma sencilla para obtener una expresión explícita y = f(x).

¿Cómo calculamos la derivada de una función definida implícitamente?

Utilizamos la derivación implícita. El proceso es el siguiente:

1. Derivamos ambos lados de la ecuación con respecto a x:
   • Al derivar términos que contienen y, aplicamos la regla de la cadena, ya que consideramos a y como una función de x.
2. Despejamos dy/dx:
   • Después de derivar, resolvemos la ecuación resultante para encontrar dy/dx. Este término representa la derivada de y con respecto a x.

Ejemplo: Encontremos dy/dx para la ecuación x² + y² = 1.

1. Derivamos ambos lados:
   • 2x + 2y * (dy/dx) = 0
2. Despejamos dy/dx:
• 2y * (dy/dx) = -2x
• dy/dx = -x/y

Derivadas de Orden Superior

Imagina que tienes una función f(x). Calcular su derivada, f'(x), nos da información sobre cómo cambia la función en cada punto (la pendiente de la recta tangente). Pero, ¿qué pasa si queremos saber cómo cambia la tasa de cambio de la función? Es decir, ¿cómo cambia la pendiente de la recta tangente? Para responder a esta pregunta, introducimos el concepto de derivadas de orden superior.

¿Qué son las derivadas de orden superior?

Son las derivadas de las derivadas. Es decir, si derivamos una función y luego derivamos el resultado, obtenemos la segunda derivada. Si volvemos a derivar, obtenemos la tercera derivada, y así sucesivamente.

• Primera derivada: f'(x) o dy/dx
• Segunda derivada: f''(x) o d²y/dx²
• Tercera derivada: f'''(x) o d³y/dx³
• ... y así sucesivamente

¿Para qué sirven las derivadas de orden superior?

• Física:
  • Aceleración: La aceleración es la derivada de la velocidad, que a su vez es la derivada de la posición.
  • Jerks: La jerk (o tirón) es la derivada de la aceleración. Describe la tasa de cambio de la aceleración.
• Optimización:
  • Puntos de inflexión: La segunda derivada nos ayuda a encontrar puntos de inflexión, donde la concavidad de una función cambia.
• Análisis de funciones:
  • Concavidad: La segunda derivada nos indica si una función es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
  • Máximos y mínimos locales: La segunda derivada nos ayuda a clasificar los puntos críticos como máximos o mínimos locales.

Ejemplo:

Sea f(x) = x³.

• Primera derivada: f'(x) = 3x²
• Segunda derivada: f''(x) = 6x
• Tercera derivada: f'''(x) = 6

Interpretación física:

Si f(x) representa la posición de un objeto en función del tiempo, entonces:

• f'(x) representa la velocidad.
• f''(x) representa la aceleración.
• f'''(x) representa el jerk o tirón.

Aplicaciones:

• Movimiento armónico simple: Las derivadas de orden superior son fundamentales para describir el movimiento de un objeto en un resorte.
• Teoría de control: Se utilizan para diseñar sistemas de control óptimos.
• Procesamiento de señales: Se emplean para analizar y filtrar señales.